© 2023 כל הזכויות שמורות
קורסון | קורסי הכנה אונליין
האם אי פעם הרגשתם שלהבין הסתברות וסטטיסטיקה זה כמו לנסות לפתור חידה מורכבת? עד כמה שזה נראה מרתיע, המפתח להבנה טובה והצלחה בקורס מבוא לסטטיסטיקה או סטטיסטיקה א' טמון בהבנת הבסיס שעליו הוא בנוי: תורת הקבוצות. תורת הקבוצות היא עמוד השדרה של הסתברות וסטטיסטיקה, וללא הבנה טובה של זה, אתם עלולים למצוא את עצמכם מתקשים להבין את המושגים המורכבים המוצגים בקורסים אלה. במאמר זה, נחקור את החשיבות של תורת הקבוצות בהסתברות ובסטטיסטיקה וכיצד שליטה ביסודות אלו יכולה לעזור לכם להצליח בקורס הסטטיסטיקה שלכם.
את המושג "קבוצה" ניתן להבין כאוסף מוגדר היטב של פריטים וכל חבר או אלמנט בקבוצה נקרא 'איבר'. לדוגמה: קבוצת כל הסטודנטים לסטטיסטיקה, קבוצת כל המספרים השלמים, קבוצת כל המספרים הזוגיים, קבוצת כל התוצאות האפשריות של הטלת קובייה וכו'. נהוג לסמן את הקבוצה באותיות לועזיות גדולות (A, B, C..) ואת האיברים של כל קבוצה באותיות קטנות (a, b, c…)
ישנן שתי דרכים שבעזרתן ניתן להגדיר קבוצה:
1. בעזרת רשימה מפורטת של כל האלמנטים. לדוגמה: A={3,5,7,9}
2. בעזרת ניסוח כלל המגדיר את כל האלמנטים או האיברים השייכים לאותה קבוצה. לדוגמה: {כל המספרים האי זוגיים בין 3 ל- 9}=A
אנו נגיד ששתי קבוצות שוות אחת לשנייה, כאשר שתיהן מכילות בדיוק את אותם האיברים, ללא קשר לסדר שלהם. למשל: אם: A={2,4,6} ו B={6,2,4} , אזי נוכל לומר: A=B
קבוצה מסוימת תהיה תת-קבוצה של קבוצה אחרת, אם כל איבר של הקבוצה הראשונה שייך גם לקבוצה השנייה. לדוגמה: אם A=3,5,7,9 ו- B=3,5, אזי נאמר כי קבוצה B הוא תת-קבוצה של A.
קבוצה שאינה מכילה אף איבר כלל, נקראת קבוצה ריקה ומסומנת באות ∅ (פי). למשל: אם A היא קבוצת המספרים הגדולים משש בהטלת קובייה תיקנית, אזי ∅=A.
מרחב המדגם (לפעמים נקרא גם "עולם התוכן"), הינו מכלול כל התוצאות האפשריות של אירוע מסוים ונסמן אותו באות היוונית Ω (אומגה). מאורע הינו תת-קבוצה הנמצא בתוך מרחב המדגם ומייצג תוצאה או קבוצת תוצאות ספציפיים. למשל: אם אנו עוסקים בכלל התוצאות האפשריות בהטלת קוביה, אזי Ω={1,2,3,4,5,6}. כמו כן, אילו אנו עוסקים בכלל התוצאות האפשריות בהטלת מטבע, אזי {פלי ,עץ}=Ω.
דיאגרמת Venn הינה כלי ויזואלי המשמש אותנו במתמטיקה, סטטיסטיקה, לוגיקה ותחומים אחרים, על מנת להמחיש קשרים בין קבוצות שונות. הדיאגרמה מורכבת מסדרה של עיגולים, שכל אחד מהם מייצג קבוצה אחרת. אנו נתייג את הקבוצות בדרך כלל באמצעות אותיות או מילים.
בואו נראה דוגמא לשימוש בדיאגרמת וון:
נניח שאנו עוקבים אחר שני תסמיני COVID-19: שיעול וחום. אנו רוצים להשתמש בתרשים Venn כדי להבין כמה אנשים חווים כל סימפטום בנפרד וכמה אנשים חווים את שני התסמינים בבת אחת. כדי להתחיל, ראשית נצייר שני עיגולים חופפים, אחד לשיעול {A} ואחד לחום {B}.
כך עשויה להיראות דיאגרמת Venn:
בתרשים מעלה, העיגול משמאל {A} מייצג את כל האנשים שחווים שיעול, העיגול מימין {B} מייצג את כל האנשים שחווים חום, והחפיפה ביניהם מייצגת את מספר האנשים שחווים את שני התסמינים גם יחד .
אנו יכולים לבצע מספר פעולות לוגיות בין הקבוצות, שהתוצאות שלהן יובילו לקבוצות חדשות בתוך עולם התוכן (אומגה). במאמר זה, נתייחס לארבע פעולות בין קבוצות: איחוד, חיתוך, משלים, חיסור.
האיחוד של שתי הקבוצות A ו-B, מייצר קבוצת איברים חדשה ששייכים לפחות לאחת מקבוצות אלה. כלומר כל האלמנטים שנמצאים בקבוצה A או בקבוצה B, או בשתיהן. נקודת המפתח כאן היא שאם איבר מופיע גם בקבוצה A וגם בקבוצה B, אנו כוללים אותו רק פעם אחת בקבוצת האיחוד, כדי למנוע כפילויות. בואו נראה שתי דוגמאות שימחישו לנו במה מדובר:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {1, 3, 5, 7, 9}
לכן, אם ניקח את האיחוד של קבוצה A וקבוצה B, נקבל את הקבוצה החדשה הבאה:
A∪B = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 10
AB = {E, L, P, H, A, N, T, G, I, R, F}
המשמעות היא ש- A∪B מכיל בתוכו את כל האיברים מקבוצה A ומקבוצה B, כולל האיברים המשותפים "A" ו- "E" אשר מופיעים רק פעם אחת בקבוצת האיחוד.
החיתוך של קבוצות A ו-B הוא כל קבוצת האיברים ששייכים לשתי הקבוצות יחד. זאת אומרת, כל האיברים שנמצאים גם בקבוצה A וגם בקבוצה B, שייכים לקבוצת החיתוך והיא תסומן כ- A∩B. לקבוצות שאין ביניהם אף איבר משותף, נקרא "מאורעות זרים" והחיתוך ביניהם יהיה קבוצה ריקה. במילים אחרות אם A וB זרים, אזי ∅=A∩B
בואו נראה דוגמא:
נניח שקבוצה A מורכבת מכל המספרים הראשוניים בין 1 ל-20, בעוד שקבוצה B מורכבת מכל המספרים האי-זוגיים בין 10 ל-30.החיתוך של קבוצה A וקבוצה B, המסומן כ-AB, הוא קבוצה חדשה הכוללת את כל האיברים הקיימים גם בקבוצה A וגם בקבוצה B:
A= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
B= {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
במקרה זה, המספר היחיד שקיים גם בקבוצה A וגם קבוצה ב' הוא 11 ולכן:A∩B = {11}
לעומת זאת, אם קבוצה A תהיה מורכבת מכל המספרים הזוגיים בהטלת קוביה הוגנת, וקבוצה B תהיה מורכבת מכל המספרים הגדולים מ-7, החיתוך בין שתי הקבוצות יהיה קבוצה ריקה: ∅=A∩B. דרך טובה להבחין בין סימן האיחוד לסימן החיתוך ולא להתבלבל ביניהם היא על ידי הסתכלות מקרוב על הסימנים שלהם. אנחנו יכולים לראות שסימן האיחוד דומה בצורתו לאות U, כמו Unite (איחוד) וסימן החיתוך, דומה בצורתו לסימן הח' בעברית, כמו חיתוך.
המשלים של קבוצה A הוא קבוצת כל האיברים שלא שייכים ל-A ויסומן כך: A̅. שימו לב שהמשלים תלוי בהגדרת עולם התוכן . לדוגמה: אם A={2, 4, 6} מהו A̅ ?
תלוי בעולם התוכן:
אם {תוצאות אפשריות של הטלת קובייה}=Ω, אז A̅={4, 5, 6} . אבל אם {כל המספרים החיוביים השלמים}= Ω, אזי …9 ,8 ,7=A̅
אם נתונות שתי קבוצות, A ו- B, אז A-B היא קבוצת כל האיברים ששייכים ל-A, ולא שייכים ל-B. לדוגמה: אם
A={4,5,6, 7} ו B={5, 6, 7} , אז: A-B={4}
מהגדרות אלה אנו יכולים "לגזור" מספר חוקים: א. ∅=𝛺̅ הסבר: מכיוון שמרחב המדגם Ω מכיל את כל התוצאות האפשריות של ניסוי אקראי, המשלים של Ω לא יכיל אף איבר. משמעות הדבר היא ש-𝛺̅ יהיה קבוצה ריקה, המיוצגת על ידי ∅. ב. A∩Ω=A. הסבר: החיתוך של A ו-Ω, המסומן כ-A∩Ω, הוא קבוצת כל האיברים המשותפים גם ל-A וגם ל-Ω. מכיוון ש-A הוא תת-קבוצה של Ω, כל האיברים ב-A נמצאים גם ב-Ω. המשמעות היא שהחיתוך של A ו-Ω מכיל את כל האלמנטים של A, מכיוון שאלו האיברים משותפים לשתי הקבוצות. ג. ∅=∅∩A. הסבר: מכיוון שלקבוצה הריקה אין איברים, לא יכול להיות אף איבר משותף בינה לבין A. לפיכך, החיתוך בין A ו-∅ הוא כל קבוצת האיברים שנמצאים בשתי הקבוצות, כלומר קבוצה ריקה. ד.A∪Ω=Ω. הסבר: מכיוון ש-Ω מכיל את כל האלמנטים האפשריים, הוא חייב להכיל את כל האלמנטים בקבוצה A. לפיכך, האיחוד של A ו-Ω יהיה פשוט Ω, שכן כל האלמנטים הקיימים ב-A כבר כלולים ב-Ω. ה. A∪∅=A . הסבר: מכיוון שלקבוצה הריקה אין אלמנטים כלל, לא יכול להיות אלמנט ב-∅ שאינו נמצא כבר ב-A. לכן, האיחוד של A ו-∅ יהיה פשוט A, מכיוון שכל האלמנטים ב-A כבר נכללים בקבוצה ∅. ו. A-B=A∩B̅ הסבר: ההפרש בין שתי קבוצות A ו-B, מייצג את קבוצת כל האלמנטים או איברים שקיימים ב-A , אך אינם קיימים ב-B. החיתוך של קבוצה A עם המשלים של קבוצה B̅ (B), יהיה לפיכך כל קבוצת האלמנטים שקיימים ב-A וגם לא קיימים בקבוצה B, או במילים אחרות, A∩B̅. בדיאגרמת וון זה ייראה כך:
© 2023 כל הזכויות שמורות
קורסון | קורסי הכנה אונליין
Powered by - Wemake